Teoria dos Jogos: simetria, cooperação e diversão

Há algumas semanas estou enrolando, mas neste fim de semana PRECISO tirar essas leituras da lista de “stand by”, sob o risco de permitir a criação de teias de aranha no cérebro (não dá para ler só TCC, senão atrofia tudo!). As 3 me parecem bem interessantes:

1) Cooperation under incomplete information on the discount factors

Abstract: In repeated games, cooperation is possible in equilibrium only if players are sufficiently patient, and long-term gains from cooperation outweigh short-term gains from deviation. What happens if the players have incomplete information regarding each other’s discount factors? In this paper we look at repeated games in which each player has incomplete information regarding the other player’s discount factor, and ask when full cooperation can arise in equilibrium. We provide necessary and sufficient conditions that allow full cooperation in equilibrium that is composed of grim trigger strategies, and characterize the states of the world in which full cooperation occurs. We then ask whether these “cooperation events” are close to those in the complete information case, when the information on the other player’s discount factor is “almost” complete.

2) The single crossing conditions for incomplete preferences

Abstract: We study the implications of the single crossing conditions for preferences described by binary relations. All restrictions imposed on the preferences are satisfied in the case of approximate optimization of a bounded-above utility function. In the context of the choice of a single agent, the transitivity of strict preferences ensures that the best response correspondence is increasing in the sense of a natural preorder; if the preferences are represented by an interval order, there is an increasing selection from the best response correspondence. In a strategic game, a Nash equilibrium exists and can be reached from any strategy profile after a finite number of best response improvements if all strategy sets are chains, the single crossing conditions hold w.r.t. pairs (one player’s strategy, a profile of other players’ strategies), and the strict preference relations are transitive. If, additionally, there are just two players, every best response improvement path reaches a Nash equilibrium after a finite number of steps. If each player is only affected by a linear combination of the strategies of others, the single crossing conditions hold w.r.t. pairs (one player’s strategy, an aggregate of the strategies of others), and the preference relations are interval orders, then a Nash equilibrium exists and can be reached from any strategy profile with a finite best response path.

3) Strategy-proofness versus symmetry in economies with an indivisible good and money

Abstract: We consider the problem of allocating a single indivisible good among $n$ agents when monetary transfers are allowed. We study the possibility of constructing strategy-proof, symmetric, and budget balanced mechanisms. We show that there is no strategy-proof, symmetric, and budget balanced mechanism (under the weak domain condition that the set of agent’s possible valuations includes at least $n+1$ common valuations). Moreover, this result implies that there is no strategy-proof, symmetric, and budget balanced mechanism (i) in the model where agents may have non-quasilinear preferences, and/or (ii) in the unit-demand model with $n$ heterogeneous indivisible goods.

E, ainda no assunto Teoria dos Jogos, li isso aqui há algum tempo no blog Economista X e havia esquecido de divulgar. Vale a pena:

Um programa de TV (Japonês) colocou três campeões olímpicos de esgrima para lutar contra 50 esgrimistas amadores. O objetivo era, com a espada, “matar” o oponente — o que significava furar um pequeno balão no peito do mosqueteiro. Antes de olhar o vídeo (no fim do post), vale a pena perguntar: qual é o resultado previsto pela teoria dos jogos? Será que a teoria acerta?
Que jogo é esse e qual é sua solução?
Antes de saber qual conceito de solução aplicar (Nash, subjogo perfeito, sequencial etc), é preciso descobrir que “classe de jogo” esse quadro da TV seria.
Não é exatamente trivial caracterizar essa situação dentro de um “game-theoretic” framework. Mas vejamos. Existe um conjunto de jogadores. O jogo é claramente sequencial, com se fosse dividido em vários estágios em cada um dos quais um grupo de amadores vai se revezar no ataque dos mosqueteiros olímpicos. Quando cada amador decide o que fazer em cada estágio do jogo, ele não sabe exatamente o que os demais jogadores fizeram nos estágios anteriores. Em cada conjunto de informação, há várias histórias de jogo e cada jogador não sabe exatamente qual foi exatamente a história de jogo de cada um dos demais jogadores.
Cada jogador tem um conjunto de estratégias em cada conjunto de informação do jogo. E cada uma dessas estratégias tem um ganho associado à ela. Há claramente heterogeneidade entre os jogadores: cada um parece ser de um dos dois seguintes tipos: o tipo “brigão”, que vai “engage” um dos esgrimistas olímpicos, e o tipo “malandro”, que vai pegar carona na multidão pra prolongar sua sobrevivência no jogo. Há uma distribuição (subjetiva) de provabilidades sobre quem é de que tipo aqui, supõe-se. O payoff desses tipos é provavelmente diferente porque os primeiros derivariam uma utilidade em exercer esforço.
Dito isto, estamos diante de um jogo dinâmico com informação incompleta. A questão então é: qual é o Equilíbrio Perfeito Bayesiano de Nash nesse jogo?
Solução
Esse tipo de equilíbrio envolve não apenas uma sequência de estratégias para todos os estágios do jogo (perfil de estratégias) mas também um conjunto de crenças que seja consistente com as estratégias em cada estágio e onde a crença sobre em qual trajetória ele se encontra em cada conjunto de informação no qual ele é chamado a jogar é definido de acordo com a regra de Bayes.
Com a informação que está disponível ao se assistir o vídeo, é obviamente impossível computar o equilíbrio desse jogo sem fazer um monte de suposição adicional que restrinja o espaço de estratégias e diminua a multiplicidade de trajetórias que 50 jogadores em um jogo com tantos estágios pode gerar. O que torna esse jogo mais complicado de analisar mas também mais fascinante é que o número de jogadores vai diminuindo ao longo do jogo.
Schelling point
Mesmo assim, considerando que o payoff do jogo para os mosqueteiros amadores era uma função direta tanto do ato de derrotar os esgrimistas olímpicos quanto de permanecer no jogo por mais tempo possível, é possível argumentar que o equilíbrio do jogo seria “misturada” no sentido de que envolveria uma estratégia na primeira parte do jogo (se esconder e evitar uma disputa direta com os esgrimistas olímpicos) e outra na segunda parte do jogo (atacar o esgrimista olímpico — ponto focal — usando o tamanho menor de esgrimistas para uma ação coordenada, o que em certo sentido poderia ser uma “misrepresentation” de tipo). Tudo indicaria, ao menos teoricamente, que um dos esgrimistas amadores seria o vencedor.  Será que é isso que acontece? Vejam o vídeo por vocês mesmos.

Há obviamente, dezenas de outras explicações possíveis — inclusive mais simples.

Finalmente, eis aqui o vídeo mencionado:

 

 

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